Задачи для учеников 5 и 6 классов без применения алгебраического способа решения задач, т.е. решения без применения уравнений, а также для учеников 7 и 8 классов с целью решения задач без уравнений для тренировки своих способностей.

Арифметика - Задачи

16. Во время пионерского похода по родному краю участники его пользуются картой, масштаб которой 1:1 000 000. Сколько понадобится времени, чтобы проехать из одного города в другой на велосипедах со скоростью 12 км/ч, если на карте расстояние между этими двумя городами равно 0,6 дм?

5 часов.

Решение задачи:

Масштаб карты 1:1 000 000 означает, что в 1 сантиметре - 10 километров. Поскольку на карте расстояние между городами равно 0,6 дм, значит расстояние на местности составит 0,6(дм) × 10(см. в 1 дм.) × 10(км. в 1 см. карты) = 60 км. На скорости 12 км/ч расстояние в 60 км. будет преодолено за 60÷12=5 часов.

---

17. Пионеры ехали на автомашине из лагеря в город. Когда они проехали 3/4 пути, автомашина была остановлена для ремонта. Оставшуюся часть пути пионеры проделали пешком, затратив на это времени в 4 раза больше, чем они ехали на автомашине. Во сколько раз быстрей ехали пионеры на автомашине, чем шли пешком?

..в 12 раз быстрее.

Решение задачи:

На машине пионеры проехали путь в 3 раза больший, чем путь, пройденный ими пешком, а времени затратили в 4 раза меньше. Значит они ехали на автомашине в 3×4=12 раз быстрее чем шли пешком.

---

18. Из толстой железной проволоки в мастерской могут сделать цепь, состоящую из 80 или из 100 звеньев. Если сделать цепь из 100 звеньев, то каждое звено ее будет на 5 г легче, чем в том случае, если бы цепь сделали из 80 звеньев. Какую массу имеет проволока?

2 кг.

Решение задачи:

Если 20 звеньев (100-80=20) более длинной цепочки весят 5×80=400 грамм. Значит, 100 звеньев весят 400×(100÷20)=2000 грамм или 2 кг.

---

19. 30 учебников стоят на 14 рублей дороже, чем 40 задачников. Те же 30 учебников стоят на 14 рублей дешевле, чем 50 таких же задачников. Сколько стоят один учебник и один задачник?

Учебник стоит4 рубля 20 коп, а задачник -2 рубля  80 коп.

---

20. На три склада доставлен груз. На первый и второй склады доставлено 400 т, на второй и третий - 300 т, а на первый и третий - 440 т. Сколько тонн груза было доставлено на каждый склад в отдельности?

• I склад: 270 т.,
• II склад: 130 т.,
• III склад: 170 т.

Решение задачи:

• На все три склада было доставлено (400+300+440)÷2=570 т.
• На третий склад было доставлено 570-400=170 т.
• На первый - 570-300=270 т. На второй - 570-440=130 т. 

---

21. Два брата разговорились о том что, сколько они скопили денег. Старший говорит младшему:
- Дай мне 8 рублей, тогда у меня будет денег в два раза больше, чем у тебя.
Младший, подумав, ответил:
- Нет, у тебя и так больше денег, чем у меня. Лучше ты дай мне 8 рублей, тогда денег у нас будет поровну.
Сколько денег было накоплено каждым братом?

У старшего 56 рублей., у младшего - 40 рублей.

Решение задачи:

Так как передача 8 рублей уравнивает количество денег у братьев, то изначально у старшего брата на 16 рублей больше, чем у младшего. Если же младший брат отдаст старшему брату 8 рублей, то разница увеличится до 32 руб. Поскольку старший брат тогда будет иметь денег в два раза больше, то ясно, что у младшего брата после передачи будет 32 руб, а у старшего 64 руб. Следовательно, до передачи 8 рублей у младшего брата было 32-8=24 рубля, а у старшего - 64-8=56 р.

Также, эту задачу можно решить используя систему уравнений:
1. x+8=2(y-8); 2. x-8=y+8.

---

22. На двух кустах сидели 16 воробьев. Со второго куста улетели 2 воробья, а затем с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. После этого на каждом кусте оказалось одно и то же число воробьев. Сколько воробьев было изначально?

На первом кусте было 12 воробьев, на втором - 4 воробья.

Решение задачи:

После того, как со второго куста улетели 2 воробья, на двух кустах осталось вместе 16-2=14 воробьев. Поровну (по 14÷2=7) воробьев на каждом кусте оказалось после того, как с первого куста на второй перелетели 5 воробьев. Значит, до этого момента, на первом кусту было 7+5=12 воробьев, а на втором - 7-5=2 воробья. Если вспомнить об улетевших в самом начале со второго куста двух воробьях, то получается, что изначально на втором кусте сидело 2+2=4 воробья. Таким образом, на первом кусте сидело 12 воробьев, а на втором - 4.
Эту задачу, также, можно решить при помощи системы уравнений: 1. x+y=16; 2. x-5=y-2+5.

---

23. Велосипедист должен попасть в место назначения к определенному сроку. Известно, что если он поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет на час раньше, а если скорость будет 10 км/ч, то опоздает на 1 ч. С какой скоростью должен ехать велосипедист, чтобы приехать вовремя?

12 км. в час.

Решение задачи:

Задачу можно решить несколькими способами:
Способ первый - решение путем логических рассуждений. Перемещаясь со скоростью 15 км\ч, велосипедист приедет на час раньше. За этот час, на этой скорости, он мог бы еще проехать 15 километров. Значит, перемещаясь со скоростью 10 км\ч, велосипедист приедет на час позже. За этот час, на этой скорости, он проезжает 10 километров. Поэтому, изменение скорости на 15-10=5 км\ч приводит к изменению пройденного расстояния на 15+10=25 километров, соответственно, изменение скорости на 1 км\ч приводит к изменению пройденного расстояния на 25/5=5 километров. Согласно условия задачи, перемещаясь со скоростью 15 км\ч велосипедист сэкономил 1 час и за оставшееся время мог бы еще проехать 15 километров. Значит его скорость необходимо уменьшить на 15(км) / 5(км за каждый 1 км\ч скорости) = 3 км\ч. Выходит, чтобы приехать вовремя, велосипедист должен ехать со скоростью 15-3=12 км/ч.

Способ второй - решение алгебраически, при помощи уравнения ("с иксом"). Поскольку расстояние в обоих случаях было равным, обозначим через x - время, за которое нужно его преодолеть, чтобы приехать вовремя: 15(x-1)=10(x+1) ⇒ 15x-15=10x+10 ⇒ 5x=25 ⇒ x=25÷5=5 часов. За это время необходимо преодолеть: 10×(5+1)=10×6=60 км. Таким образом, для преодоления 60 км. за 5 часов, велосипедисту необходимо ехать со скоростью 60÷5=12 км/ч.

---

24. Десять слив имеют такую же массу, как три яблока и одна груша, а шесть слив и одно яблоко - как одна груша. Сколько слив нужно взять, чтобы их масса была равна весу одной груши?

7 слив.

Решение задачи:

Запишем условие задачи на математическом языке:
1. 10 слив = 3 яблока + 1 груша.
2. 6 слив + 1 яблоко = 1 груша.
Подставляем "грушу" в первое выражение: 10 слив = 3 яблока + 6 слив + 1 яблоко ⇒ 4 сливы = 4 яблока ⇒ 1 слива = 1 яблока. Поскольку массы слив и яблок равны, исходя из первого равенства получаем: 10 слив = 3 сливы (или яблока) + 1 груша ⇒ 1 груша = 10-3 = 7 слив. Таким образом нужно взять 7 слив, чтобы их масса была равна весу одной груши.

---