Функции переменных как агрегат, структуры как агрегаты

Другой тип агрегата-оператора возникает, если агрегируемые приз­наки фиксируются в числовых шкалах. Тогда появляется возможность задать отношение на множестве признаков в виде числовой функции многих переменных, которая и является агрегатом.

Свобода выбора в задании функции, агрегирующей переменные, яв­ляется кажущейся, если этой функции придается какой-то реальный смысл. В этом отношении характерен случай перехода от многокрите­риальной оптимизационной задачи к однокритериальной с помощью агрегирования нескольких критериев в один суперкритерий. Построе­ние суперкритериальной функции, по существу, является построением модели системы. Не зная "истинной" упорядочивающей функции, мы можем аппроксимировать ее гиперплоскостью (т.е. линейной комбина­цией частных критериев), но должны стремиться к тому, чтобы эта гиперплоскость была "достаточно близка" к неизвестной суперповерх­ности, чтобы сравниваемые альтернативы находились "вблизи" точки касания суперплоскости с суперповерхностью. Если обеспечить это мы не в состоянии, то можно использовать кусочно-линейные и другие нелинейные аппроксимации, т.е. другие агрегаты критериев, либо вообще отказаться от их агрегирования в один критерий. Отметим, что паретовская оптимизация в каком-то смысле аналогична отказу от агрегата-оператора и возврату к агрегату-копфигуратору.

Интересно подчеркнуть, что в тех (к сожалению, редких) случаях, когда агрегат-оператор является вполне адекватной моделью системы, мы вообще лишаемся свободы выбора функции, агрегирующей набор переменных. Именно этот случай имеет место, когда закономерности природы отображаются безразмерными степенными одночленами физи­ческих размерных величин . Такое, казалось бы, тривиальное тре­бование, как сохранение отношения двух числовых значений составных физических величин (т.е. зависящих от нескольких других величин) при изменении единиц измерения исходных величин, приводит к не­тривиальному выводу: если удалось построить безразмерный степенной одночлен из размерных физических величин, образующих конфигуратор рассматриваемого явления, то выявлена физическая закономерность данного явления. Например, из того, что F-1 та = с, где с — безраз­мерная постоянная, F — сила, т - масса, а — ускорение, следует второй закон Ньютона. Конечно, метод размерности может привести к уже известным, а иногда тривиальным закономерностям, но это не является недостатком метода.

Другой редкий пример однозначности агрегата-функции дает широ­ко используемый стоимостный анализ экономических систем. Если все участвующие факторы удается выразить в терминах денежных расходов и доходов, то агрегат оказывается их алгебраической суммой. Вопрос состоит лишь в том, в каких случаях можно использовать этот агрегат, не обращаясь к другим системам ценностей, а когда следует вернуться к конфигуратору, включающему политические, моральные, экологи­ческие, а не только финансовые критерии.
Добавим, что числовую функцию можно задавать не только на число­вых аргументах, и это позволяет рассматривать еще один вид агрегата-функции.
С созданием агрегата-оператора связан не только выигрыш, ради которого он и создается, но и риск попасть в "ловушки".

Отметим основные из них:

  • потеря полезной информации. Агрегирование является необрати­мым преобразованием (например, по сумме нельзя восстановить слагае­мые), что в общем случае и приводит к потерям ; достаточ­ные статистики - лишь счастливое исключение (если сумма есть доста­точная статистика, то информация об отдельных слагаемых и не нужна);
  • агрегирование представляет собой выбор определенной модели сис­темы, причем с этим выбором связаны непростые проблемы адекват­ности ;
  • некоторым агрегатам-операторам присуща внутренняя противоре­чивость, сопряженная с отрицательными (по отношению к целям агрегирования) последствиями. Наиболее ярким примером этого является теорема о невозможности , но не присуще ли это свойство (хотя и выраженное в разной степени) всем агрегатам?